Kümeler İle İlgili Sorular [ Sunu Şeklinde ]

sunu halinde sorular
http://rapidshare.com/files/14720523/soru.rar.html

şifre : figo

Üslü Sayılar Sorular Ve Çözümler

Çarpanlara ayırma ve Özdeşlik soruları konu anlatımlı

Çarpanlara ayırma ve Özdeşlik soruları konu anlatımlı umarım işinize yarar

İNDİR

Pi Sayısının Tarihçesi

İÇİNDEKİLER:


Türev
Tümevarım
Trigonometri
Tamsayılar
Süreklilik
ReelSayılar
Rasyoner sayılar
Polinomlar
Permitasyon
Mantık
Logaritma
Lineercebir
Limit
Kümeler
Karmaşık Sayılar
İntegral 1- 2 - 3
2.Derece Denklemler

Burdan indirebilirsiniz. (40mb)

Matematik Lise 1 , 2 , 3 Konuları

İÇİNDEKİLER:


Türev
Tümevarım
Trigonometri
Tamsayılar
Süreklilik
ReelSayılar
Rasyoner sayılar
Polinomlar
Permitasyon
Mantık
Logaritma
Lineercebir
Limit
Kümeler
Karmaşık Sayılar
İntegral 1- 2 - 3
2.Derece Denklemler

Burdan indirebilirsiniz. (40mb)

Pisagor Ve Oklid....

YTHAGORAS (Yaklaşık M.Ö. 580- M.Ö. 500) Eski Yunan filozofu ve matematikçisi. Hayatı : Doğum yeri olan Samos (Sisam)Adası’ndan M.Ö. 529’da Güney İtalya’ya, Kroton’ a göç etti. Güney İtalya bu de-virde bir Yunan kolonisiydi ve buraya yerleşenlerce Magna Graecia (Büyük Yunanistan) a-dıyla anılıyordu. Kroton da bu yörenin zengin liman kentlerin-den biriydi. Pisagor işte burada biraz kişisel çekiciliği, biraz kendisinde var olduğunu iddia ettiği kehanet gücü ve biraz da etrafında oluşturmayı başardığı gizemci havayla kentin zengin ve soylu delikanlılarından 300 kadarını bir çatı altında toplandı ve bir gizli örgüt, okul ya da mezhep kurdu. Pisagor, öğrencilerini iki bölüme ayırıyordu: Dinleyiciler ve Matematik-çiler. Örgüte dinleyicilikle başlanıyor ve belirli bir deneme süresinden son-ra başarılı olunursa matematikçiliğe geçiliyordu. Çalışmaları : Pisagor; Platon ve Aristoteles’in düşünce sistemlerini et-kileyen ilkeleri biçimlendirmiş, matematiğin ve batının ussal felsefe görü-şünün gelişiminde etkili olmuştur. Pisagor, sabah yıldızı ile akşam yıldızının aynı yıldız olduğunu anlayan ilk Yunanlıdır. Kendisinden sonra bu yıldız uzun süre Afrodit ile anıldı. Bugün bunun Venüs Gezegeni olduğunu biliyoruz. Pisagor, gerek dayandığı öğrenci kitlesi gerekse öğretisinin içerdiği te-mel öğeler bakımından soylulara yatkın bir felsefeciydi. Pisagor’un ölü-münden 10 yıl kadar önce, Güney İtalya’da demokratların egemenlik kur-masıyla Pisagorculuk yaygın bir şekilde kovuşturmaya uğradı. Pisagor’un kendisi de Kroton’dan sürüldü. Pisagorculuk da felsefecinin ölümünden sonra yalnızca yüzyıl kadar daha yaşadı ve tarih sahnesinden silindi gitti. Ancak Pisagor’un öğretisi ve fikirleri çağımıza kadar felsefe dünyasını etkiledi: Bir söylentiye göre “felsefeci” sözcüğünü üreten de O’dur... Pisagor, Dünyanın Güneş etrafında döndüğünü ileri sürdüğü zaman ol-dukça sert tepkiyle karşılaşmıştır. Bilimler hakkındaki görüşlerinin ne ka-darının ona ait olduğu bilinmemektedir. Çarpım tablosunu, hipotenüs teoremini ortaya atmış olduğu söylenir. Kurduğu felsefe okulu V. Yy.da Philolaos, IV. Yy.da ise Arkhytas tara-fından yaşatıldı ve büyük ün kazandı. Pisagorculuk adını alan dini ve ilmi hareket içinde, filozofu ve felsefesini yaşatan öğrencilerinin gerçek payını ayırt etmek güçtür. -Pisagorculuk başlangıçta bir takım dini mezhepler halinde ortaya çıktı; bu mezheplerden olanlar, Yedi Bilgeler’inkini andıran çok basit, fakat kimi-ne de bugün ne anlam vereceğimizi bilemediğimiz (mesela bakla yeme-mek) kurallara uyuyorlardı. Ayrıca ruhun bilgiyle temizleneceğine ve be-denden bedene (insandan insana, insandan hayvana vb.) geçebileceğine, yani felsefe ruh göçü teorisine inanıyorlardı. Pisagor ahlakı, müritleri ara-sında sözlü olarak öğretilir, bazı Pisagorcu filozoflar ise teorik çalışmalarla uğraşırlardı («matematikçiler»). - Bu matematikçi filozoflar geometri, aritmetik, astronomi ve fizik alanın-da birçok araştırmaya giriştiler. Bu araştırmalar sonucunda çok sayıda teo-rem ortaya atıldı. M.Ö. III. Yy.da Eukleides bunları düzene koydu. Pisagor-cular özellikle karede köşegen ile kenarın ortak ölçülemezliğini ispatlaya-rak, oransal sayıların kullanılışında aşılmaz bir sınırı keşfettiler. Sayıların ve aritmetik dizilerin yapısını uzun uzun inceleyerek, mesela «tikel sayı-lar»ı (yani, 6, 28, 496 gibi bölenlerinin topl..... eşit olan sayılar) tanımla-maya çalıştılar veya n kadar tek asal sayı toplamının n²’ye eşit olduğunu gösterdiler. Astronomi alanında ise Philolaos’un teorisine uyarak dünya-nın, evrenin merkezi olmadığını; güneş ve diğer gezegenlerle birlikte yer-yüzünün de merkezî bir ateş etrafında döndüğünü ileri sürdüler.

Matematikte temel sorunun mu var? Artık öyle birşey yok! [Tüm Konular!]

6.Sınıf

Doğal Sayılar ((Matdersi))
Doğal Sayılar
Kümeler
Kümeler 2
Tamsayılar ((Matdersi))
Çarpanlar ve katlar
Cebirsel İfadeler
Eşitlik ve Denklem ((Matdersi))
Rasyonel Sayılar
Oran-Orantı ((Matdersi))
Oran-Orantı
Olasılık Matdersi
Olasılık
Yüzde Problemleri
İstatistik ve Grafikler Matdersi
İstatistik ve Grafikler
Doğruda Açılar Matdersi
Üçgende Açılar Matdersi
Üçgende Açılar
Ölçüler
Çokgenler ve Dörtgenler Matdersi
Dik prizmalar Matdersi
Dik prizmalar
TAMSAYILAR (6.sınıf video konu anlatımları)

7.Sınıf

Tamsayılar 1
Tamsayılar 2
Tamsayılar 3
Rasyonel Sayılar
Cebirsel İfadeler
Oran ve Orantı
Oran ve Orantı 2
Olasılık
Üslü Nicelikler
Yüzde Problemleri
Doğruda Açılar
Çokgenler ve Dörtgenler
Çokgenler ve Dörtgenler 2
Eşitlik ve Benzerlik
Eşitlik ve Benzerlik kayamat
Eşitlik ve Benzerlik
Simetri
TÜRK BAYRAĞI (7.sınıf video konu anlatımları)
TÜRK BAYRAĞI (7.sınıf video konu anlatımları)
FAKTÖRİYEL KAVRAMI (7.sınıf video konu anlatımları)
TAMSAYILAR (7.sınıf video konu anlatımları)

8.Sınıf
ÜÇGENLER (8.sınıf video konu anlatımları)
DİK ÜÇGENDEKİ ÜÇGENİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR (8.sınıf video konu anlatımları)
DENKLEM SİSTEMLERİ (8.sınıf video konu anlatımları)
KAREKÖKLÜ ÜSLÜ SAYILAR (8.sınıf video konu anlatımları)
8 SINIF YENİ MÜFREDAT KONULARI

Lise Bölümü

Lise 1

Kümeler
Kartezyen Çarpım ve Bağıntı
Fonksiyonlar
İşlem
Modüler Aritmetik
Mutlak Değer
Mutlak Değer 2
Üslü İfadeler
Köklü İfadeler
Oran-Orantı
Sayı-Kesir Problemleri-1
Sayı-Kesir Problemleri-2
Yaş Problemleri
Yüzde Problemleri
Faiz ve Karışım Problemleri
İşçi Havuz Problemleri
Haraket Problemleri

Lise 2

Trigonometri-1
Trigonometri-2
Olasılık
Binom
Kombinasyon
Permütasyon
II. Dereceden Fonksiyonlar (Parabol)
Eşitsizlikler
Çarpanlara Ayırma
3.DERECEDEN DENKLEMLER (LİSE-2 video konu anlatımı)
2.DERECEDEN DENKLEMLER (LİSE-2 video konu anlatımı)
POLİNOMLAR -1 (LİSE-2 video konu anlatımı)
POLİNOMLAR -2 (LİSE-2 video konu anlatımı)

Lise 3
Karmaşık Sayılar-1
Karmaşık Sayılar-2
Logaritma
Toplam ve Çarpım Sembolü
Diziler
Seriler
Determinant
Matris

Lise 4

Limit
Türev-1
Türev-2
İntegral-1
İntegral-2
İntegral-3
Özel tanımlı fonksiyonlar
Özel tanımlı fonksiyonlar-2
Dizilerde Limit

Kısa yoldan çarpma işlemi

İki (2) basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpma işlemi;
Sayımız 24 olsun. 11 x 24 =? İşleminin sonucunu bulalım.
•Önce sayıyı iki parçaya ayır. (2_4 gibi.)
•Sayının rakamlarını topla. (2+4=6)
•Çıkan sonucu iki parçaya ayırdığımız sayıların arasına yaz. (264)
Yani 11 x 24=264
Formül;
ab x 11 = ?
a+b=c
acb
Hesap makineniz ile işlemi deneyebilirsiniz.
Bu işlemde dikkat edilecek bir nokta; 11 ile çarpılacak sayımızın rakamlarını topladığımızda 10 veya 10′dan büyük bir rakam çıkarsa. Çıkan rakamın sağdan ilk rakamını, ortaya yazıyor, soldaki rakamı ise yandaki sayıya ekliyoruz. Aslında sadece eldeyi sola aktarıyoruz.
Örnek verecek olursak, 11 x 67 =? İşlemini bulalım.
•Sayıyı iki parçaya ayır. (6_7)
•Sayının rakamlarını topla. (6 + 7 =13)
•Çıkan sonucun (13) solundaki sayıyı (3) rakamların arasına yaz. (637)
•Çıkan sonucun (13) solundaki rakamı (1) sol taraftaki rakamla topla ve yaz. (737)
Yani 11 x 67 = 737
Formül;
ab x 11 = ?
a+b=cd
a+c=e
edb
Üç (3) basamaklı bir sayıyı 11′i nasıl çarpabiliriz?
Bunun için işlem biraz karışsa ve kâğıt kaleme ihtiyaç duysak da biraz pratikle işimiz gayet kolay.
Sayımız 127 olsun.
•En sağdaki rakamı aynen yaz.( 7 )
•En sağdaki rakamla, yanındaki rakamı topla. (2 + 7 = 9)
•Çıkan sonucu birinci işlemdeki rakamın yanına yaz. ( 97)
•Ana sayımızın soldan birinci ve ikinci rakamlarını topla, çıkan sonucu diğer rakamların yanına yaz. (397)
•Ana sayının en sol hanesindeki rakamı diğer sayıların en başına yaz. (1397)
Yani 127 x 11 = 1397
Formül;
abc x 11= ?
b+c=e
a+b=d
Sonuç=adec
Burada da yine dikkat edeceğimiz nokta toplama sonuçları 10 veya 10′dan büyük çıkarsa, elde işlemi gibi diğer basamaktaki sayı ile topluyoruz.
Dört (4) basamaklı sayıları 11 ile çarpalım;
abcd x 11 = ?
c+d=f
b+c=g
a+b=h
Sonuç=ahgfd.
Yine hatırlatalım toplam sonuçları 10 veya 10′dan büyük olursa onlar basamağındaki sayıyı bir sonraki toplam sonucuna ekliyoruz.
Aslında sayımız kaç basamaklı olursa olsun (1,2,3,4,5… basamaklı) 11 ile çarpmanın kolay yolu şu;
•En sağdaki sayıyı aynen yazmak.
•Sonra sayıları sağdan itibaren ikili gruplar halinde toplamak, yazmak.
•Sayımızın en solundaki rakamı aynen yazmak. (elde varsa eklemek)
Sayımız 14315327 olsun.
7+2=9
3+2=5
5+3=8
1+5=6
3+1=4
4+3=7
1+4=5
En sağdaki sayıyı aynen yazdık ve sonucun birler basamağı oldu. Daha sonra bulduğumuz sonuçları yukarıdan aşağıya ilk rakamın yanına yazdık. En soldaki rakamı yine aynen yazdık (elde olmadığı için)
Yani sonuç; 157468597
Formülümüz şu şekilde olacak;
abcdefgh x 11 = ?
g+h=i
f+g=j
e+f=k
d+e=l
c+d=m
b+c=n
a+b=o
abcdefgh x 11 = aonmlkjih
Bol örnekli, bol formüllü matematik işlemli bir yazı oldu.
Son olarak bir sayıyı 11 ile çarpmak için şunu yapmalısınız; Sayıyı altına bir basamak kaydırıp kendisi ile toplamak.
Örneğin;
..234567
234567
+______
2580237
101 ‘le Çarpma İşlemi için aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

101 x 24 = 2424 101 x 85 = ? bu soruyu da siz yapın.

101 x 71 = 7171 ( örnekleri 1001 ‘le de deneyin )

Sonu 5 Olan Sayıların Karesini bulma:

Sonu 5 olan sayıların almış olduğumuz karelerine bir göz atalım.
Sizin de dikkatinizi çekmiştir. Sonu 5 olan sayıların kareleri her zaman 25 ‘le bitiyor. Öyleyse, kısa yoldan 25 ‘in önündeki sayıları nasıl oluşturabiliriz. Çok kolay!
Çarpmak istediğiniz sonu ve 5 ‘le biten bir sayının solundaki sayıya - 1 – ekleyin ve eklenmeden önceki sayıyla çarpın. Sonra da yanına 25 ekleyin.

25 x 25 = 625 35 x 35 = 1225
45 x 45 = 2025

Örnek: 35 x 35 ‘i yapalım. 35 sayısında 5 ‘in solundaki sayı 3 ‘tür.

3 + 1 = 4 ve 3 x 4 = 12 ‘dir 12 sayısının yanına 25 eklerseniz, işlemi kısa yoldan yaparsınız


Örnek: 135 x 135 = ?
13 + 1 = 14 13 x 14 = 182 25, 82 ‘nin soluna yazılır. 182 25 bulunur.
mesala 428 sayısını 5 le çarpalım
uzun yoldan yapmamıza gerek yok sınavlarda vakit nakittir
428 2 ye bölün sonuna bir sıfır katın sonuç çıkıyor
428:2 = 214 sonuna sıfır ekleyin 2140 sonuç çıkıyor uzun yoldan da yapsanız aynı sonuç çıkar işte sonu 0,2,4,6,8 olan tüm sayılardan olur bu ama sadece 5 le çarpıldığında bu kural geçerli

Matematikte Püf Noktaları

Kural 1

İki basamaklı ve 5 ile başlayan sayıların karesi

Birler basamağı ile 25 sayısı toplanarak cevap bulunur.

Örnek1:

562 = 25+36= 61

Örnek2:

512 = 25+01= 26



Kural 2

Birler basamağındaki sayıları 1 olan 2 basamaklı 2 sayının çarpımı

a1 * b1 = a * b | a + b | 1

Sağdan sola doğru önce 1 sonra bu iki sayının onlar basamağındaki sayıların toplamını, sonra da çarpımını yazarız. a+b> 9 olursa 1 elde olarak geçer.

Örnek1:

31 * 61 = 3 * 6 | 3 + 6 | 1 = 1891

Örnek2:

91 * 71 = 9 * 7 | 9 + 7 | 1 = 9 * 7 | 16 | 1 = 6461



Kural 3

Sonu sıfırla biten sayıların çarpımı

Örnek1:

20 ile 300'ü çarpmanız gerektiğini düşünelim. İlk önce sıfırları dikkate almayın. 2*3 işleminden 6 elde edilir. Şimdi 6'nın arkasına dikkate almadığımız sıfırları ekleyin böylece sonuç 6000 çıkar.

Örnek2:

70*70 işlemini yapalım. Bunun için başta 7*7'i çarpıp 49'u yazar ve arkasına 2 tane 0 ekleyerek sonucu 4900 buluruz.



Kural 4
101, 1001, 10001, vb. bir sayı ile, bu sayıdan bir basamak küçük bir sayının çarpımı

Bunun için sayıyı yan yana 2 defa yazmak yeterlidir.

Örnekler:

101 * 68 = 6868

1001 * 752 = 752752

10001 * 4605 = 46054605

Kural 5

Bir sayının 25 ile çarpımı

A * 25 = A * 100/4

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için önce o sayıyı 4 e böler, sonra 100 ile çarparız. Sayı tam olarak dörde bölünürse, bölümün arkasına iki sıfır konur, tam olarak bölünmeyip:



1 artarsa bölümün sonuna 25 yazılır



2 artarsa bölümün sonuna 50 yazılır



3 artarsa bölümün sonuna 75 yazılır.

Görüldüğü gibi bölümün sonuna artan sayının 25 katı yazılıyor.

Örnek1:

48 * 25 = 48/4 * 100

48/4 = 12 eder ve arkasına 2 sıfır yazarak 1200 buluruz.

Örnek2:

241 * 25 =?

241/4 = 60 buluruz ve 1 artar. Bu yüzden sonuna 25 yazarız. Sonuç 6025 olur.

Örnek3:

1642 * 25 =?

1642/4 = 410 ve artan 2 dir. 410'un sonuna 50 yazarız ve sonuç 41050 olur.



Kural 6

İki basamaklı bir sayının karesi

(ba)2 = b2 | 2ab | a2

Bu bize (b + a)2 sinin açılımı olan b2 + 2ab + a2 yi anımsatmaktadır, sadece aradaki toplama işaretleri ortadan kalkmıştır. Altı çizili sayılar elde olarak alınacaktır.

Örnek1:

312 = 32 | 2*3*1 | 12 = 9 | 6 | 1= 961

Örnek2:

762 = 72 | 2*7*6 | 62

49 | 84+3 | 6

49 | 87 | 6

49 + 8 | 7 | 6

5776



Kural 7

A gibi bir sayıya göre simetrik iki sayının çarpımı

A gibi bir sayıdan ±B kadar önce ve sonra gelen iki sayının çarpımı A2- B2 ye eşittir.

Örnekler:

808 * 793 = 800- 72 = 64000- 49 = 639951

525 * 475 = 5002- 252 = 25000- 625 = 249375



Not: Bu çıkarma işlemini şu şekilde pratik yoldan yapabiliriz. Sıfırlardan sağdan ilkini (1’ler basamağındakini) 10 diğerlerini 9 olarak düşünürüz ve sola doğru sıfırlardan sonraki ilk rakamdan 1 çıkarırız.



Kural 8

501 ile 999 arasındaki sayıların karesini bulma

999'un karesini bulalım hesap makinesinde yaparsak sonuç 998001 çıkacaktır. Biz bunu zihinden yapmak istersek 999'un 1000'den kaç eksik olduğunu bulacağız. 999, 1000'den 1 eksik o halde 1*1=1 yani 1000'den kaç eksikse o sayının karesini alıyoruz sonra 999'dan 1 çıkarıyoruz 999- 1=998. Bulduğumuz sayının yanına 3 tane 0 koyuyoruz. 998000 oldu. Sayımızın 1000'den kaç eksik oyduğunu bulmuştuk ve karesini almıştık. Bunu da sonra topluyoruz 998000+1=998001 işte sonucu zihinden bulduk (not: 1'in karesini aldık aynı şeyi 997 üzerine yapsaydık 3*3=9 alacaktık).



Kural 9

Aralarında 2 fark bulunan sayıların çarpımı

Bunun için sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bir eksiğini alırız. Örneğin 19 ile 21 i çarpmak için 20*20-1 işlemini yapar ve sonucu 399 olarak buluruz.

Aralarında 4 fark bulunan sayıların çarpımını bulmak için ise sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bu sefer dört eksiğini alırız. Örneğin 13 ile 9 u çarpmak için 11*11-4 işlemini yapar ve sonucu 117 olarak buluruz.



Kural 10

11 ile çarpma
Sayımız kaç basamaklı olursa olsun 11 ile çarpmak için birler basamağını yazıp, daha sonra sola doğru ikişer ikişer sayıların toplamıyla sonuca ulaşabiliriz.
Örnek1:
12*11=?
1 /1+2 / 2
1 3 2
Buradan 12*11= 132

Örnek2:
123 * 11 = ?
1 / 1+2 / 2+3 / 3
1 3 5 3
Buradan 123 x 11 = 1353.

Örnek3:
2134 * 11=?
2 / 2+1 / 1+3 / 3+4 / 4
2 3 4 7 4
Buradan 2134 x 11 = 23474.


Kural 11

100 den büyük ve 100 e yakın iki sayının çarpımı

Örnek1:

109*104 çarpımını hesaplayalım. Önce her zaman 1 yazılır. Sonra 9 ile 4 ün toplamı daha sonra 9 ile ün çarpımı yazılır. Cevap: 11336

Örnek2:

101*127=? Önce 1 sonra 1 ile 27 toplamı en sonunda ise 1 ile 27’nin çarpımı yazılır ve cevap 12827 olur.



Kural 12

Sonu 1 veya 9 ile biten bir sayının karesi:

212= 202+(20+21)

312= 302+(30+31)

192= 202-(20+19)

392= 402–(40+39)



Kural 13

Bir sayının 5 ile çarpımı

Bir sayıyı 5 ile çarpmak için 10 ile çarpıp yarısını almak yeterlidir. Örneğin, 42 ile 5 i çarpmak yerine 420 sayısını ikiye böler cevabı 210 buluruz.



Kural 14

Tek sayıların toplamı



1=12

1+3= 22

1+3+5= 32

1+3+5+7= 42

1+3+5+7+9= 52

1+3+5+7+9+11= 62


Kural 15

Sonu 5 ile biten sayıların karesi

(b5)2 = b*( b + 1 ) | 25

Sonu beş ile biten sayıların karesini bulmak için yirmi beş yazar, önüne bu sayının onlar basamağındaki sayısı ile onun bir fazlasının çarpımını yazarız.

Örnekler:

352 = 3*(3 + 1) | 25 = 3*4 | 25 = 1225

652 = 6*7 | 25 = 4225

852 = 8*9 | 25 = 7225

1052 = 10*11 | 25= 11025



Kural 16

Sonu 4 ile biten sayıların karesi
Örnek:

642 =?
İlk olarak bu sayının 1 fazlasının karesi bulunur.

Yani(64+1)2=652=4225 (bunu bulmayı kısa yoldan biliyoruz).
Sonra 64+65=129. Son olarak 4225- 129=4096. Yani 642= 4096



Kural 17

Sonu 6 ile biten sayıların karesi
Örnek1:

762=?
Önce 1 eksiğinin karesi alınır.752=5625.
Sonra 76+75=151. Son olarak 5625+151=5776 bulunur.
Örnek2:

712=?
(71- 1)=70
702=4900
70+71=141
4900+141=5041



Kural 18

a) 11 ile tüm rakamları 1 olan k basamaklı bir sayı çarpıldığında sonuç 1 ile baslar ve 1 ile biter 1’ler arasında k-1 tane 2 vardır.
Örnekler:
11x11111(5basamaklı)=122221
11x11111111(8basamaklı)=122222221

b)Yine tüm rakamları 1 ve basamak sayıları eşit olursa yan yana 1’lerin karesi yani 11111x11111 gibi sayı kaç basamaklıysa o kadar 123.... diye yazılır sonra tekrar geriye doğru inilir
Örnekler:
1111x1111(4basamaklı)=1234321
1111111x1111111(7bas***lı)=1234567654321



c)Rakamlarının hepsi 1 ama basamak sayıları eşit olmadığında basamak sayısı az olanın basamak sayısı kadar 123... yazılır sonra iki sayının basamak sayıları farkı kadar hangi rakamda kalınmışsa tekrar edilir ve tekrar 1’e dönülür
Örnekler:
111(3bas***lı)x111111(6basamaklı)= 12333321 (basamak farkları 3 tane olduğu için 3 tane daha 3 yazılır)
11111(5bas***lı)x11111111(8basamaklı)=123455554321



Umarim İŞİnİze Yarar

Cosx+cos6x+cos11x
----------------------- = BÖyle İfadelerde
Sİnx+sİn6x+sİn11x


En Soldakİ İle En SaĞdakİnİn Toplaminin Yarisi Ortadakİnİ Verİyor İse Yanİ X+11x=12x/2=6x Ortadakİnİ Verİyor İse Yanliz Hem Pay Hemde Payda İÇİn Uygulamak Gerekİr SonuÇ Ortadakİlerİn Oranidir
Yanİ

Cos6x
-------
Sİn6x Tİr

İsteyen ArkadaŞlarda Uzun Yoldan Yapabİlİr

Bu Kural 4tane Ard Arda Olanlar İÇİnde GeÇerlİ

Yanİ

Sİn10+sİn20+sİn30+sİn40
-------------------------------=
Cos10+cos20+cos30+cos40

Yanliz Bundada ŞÖyle Yapmak Gerekİyor

En SaĞ Ve En Soldakİlerİn Toplami Ortadakİlerİn Toplamini Verİyor İse Yanİ 10+40=50 20+30=50 Yanİ Bİrbİrİne EŞİt Oluyor İse

Ortadakİlerİn Toplaminin Yarisi Orani Vardir

Yanİ SonuÇ

Sİn25
-------
Cos25 Tİr




MATEMATİK - İlginç Sayılar

12.345.679 * 9 =111.111.111
12.345.679 * 18 =222.222.222
12.345.679 * 27 =333.333.333
12.345.679 * 36 =444.444.444
12.345.679 * 72 = 888.888.888
12.345.679 * 81 = 999.999.999

ARTIK RAKAMLARI 1 OLAN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK KOLAY
12= 1
112= 121
1112= 12321
11112= 1234321
111112= 123454321
1111112= 12345654321
11111112= 1234567654321
{7 adet 1}

tek sayıların toplamı
1=12
1+3= 22
1+3+5= 32
1+3+5+7= 42
1+3+5+7+9= 52
1+3+5+7+9+11= 62

6 tek sayının toplamı

BAK ŞU İŞE

1+2= 3
4+5+6= 7+8
9+10+11+12= 13+14+15
16+17+18+19+20= 21+22+23+24

BAK ŞU SAYILARA

4913=(4+9+1+3)3
5832=(5+8+3+2)3
19683=(1+9+6+8+3)3
17576=(1+7+5+7+6)3
390265=(3+9+0+6+2+5)4
234256=(2+3+4+2+5+6)4

İLGİNÇ EŞİTLİKLER

25.92 = 2592
13+53+33=153
33+73+13=371



BUNLARIDA İNCELEYİN...

(2+3+4+2+5+6)^4 =234256

(5+2+5+2+1+8+7+5)^5 = 52521875

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3

371= 3^3 + 7^3 + 1^3

135 = 1*3*5*(1+3+5)

144 = 1*4*4*(1+4+4)

8833 = 88^2 + 33^2

37+3*7 = 3^2+7^2

37*(3+7) = 3^3+7^3

(1^5+2^5+3^5+...+n^5)+(1^7+2^7+3^7+...+n^7) = 2*(1+2+3+...+n)^4

1^n + 6^n + 7^n + 17^n + 18^n + 23^n= 2^n + 3^n + 11^n + 13^n + 21^n + 22^n

(n=1, 2, 3, 4, 5 olabilir)


1*8 = 8 (0+8 = 8 )

2*8 = 16 (1+6 = 7)

3*8 = 24 (2+4 = 6)

4*8 = 32 (3+2 = 5)

5*8 = 40 (4+0 =4)

6*8 = 48 (4 8 = 12 ve 1+2=3)

7*8 = 56 (5+6 = 11 ve 1+1 =2)

8*8 = 64 ( 6+4 = 10 ve 1+0 = 1)




6*2 = 12

6*3 = 18

6*4 = 24

6*5 = 30

6*6 = 36

6*7 = 42

6*8= 48
(1+2 = 3)

(1+8 = 9)

(2+4 = 6)

(3+0 = 3)

(3+6 = 9)

(4+2 = 6)

(4+8 = 12 ve1+2 = 3)



Gördüğünüz gibi rakamlar toplamı 3, 9, 6 şeklinde devam ediyor
ve daha büyük sayılar için de bu kural geçerli

Lise 1-2-3-4 Matematik Tüm Konular-Dev Paylaşım

--LİSE 1--





Rasyonel Sayılar

Kesir Çeşitleri
Rasyonel Sayıların Eşitliği
Yansıma simetri geçişme
Rasyonel Sayılar Kümesinde İşlemler
Toplama Çıkarma Çarpma ve Bölme İşleminin Özellikleri
Rasyonel Sayılarda Sıralama
Obeb ve Okek
Rasyonel Sayıların Yoğunluğu
Ondalık Sayılar
Devirli Ondalık Sayı
Kesir Problemleri
Rasyonel Sayılarla ilgili Çözümlü Testler

16 Sayfa

TIKLA


Eşitsizlikler

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Çarpım ve Bölüm Biçimindeki Eşitsizlikler
Pratik Kurallar
Eşitsizlik Sistemleri
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Denklem Çözümleri
Gerçek kökler ile Bir K Gerçel Sayısının Karşılaştırılması
Üçterimlinin Pozitif veya Negatif Olması
Eşitsizlik ile ilgili Çözümlü Testler

35 Sayfa

TIKLA


Denklemler

Denklem Çözüm Kümeleri
İki Bilinmeyenli Denklemleri Çözüm Kümeleri
Geometrik Anlamı
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
Denklem Sistemlerinin Çözüm Metotları
Yok Etme Metodu
Yerine Koyma Metodu
Özel Denklemler
Denklemler ile İlgili Çözümlü Testler

12 Sayfa

TIKLA


Mutlak Değer

Karekök ve Mutlak Değer
Mutlak Değer ile ilgili Özellikler
Çözümlü Testler

14 Sayfa

TIKLA


Köklü İfadeler

Rasyonel Üstün Genişletilmesi ve Sadeleştirilmesi
Toplama çıkarma çarpma bölme
Paydanın Rasyonel Yapılması
Kök İçinde Köklü İfadeler
Sonsuz Kökler
Köklü İfadelerde Sıralama
Özel Kökler
Çözümlü Testler

15 Sayfa

TIKLA


Reel Sayılar Sıralama ve Eşitsizlik

İrrasyonel Sayılar
Reel Sayılarda İşlemler
Reel Sayılarda Eşitliğin Özelliği
Reel Sayılarda Sıralama
Sıralama Özellikleri
Reel Sayı Aralıkları
Çözümlü Testler

11 Sayfa

TIKLA


Üslü İfadeler

Üslü İfadelerde 4 İşlem
Tabanları Aynı üstleri Farklı İfadelerin Çarpımı ve Bölümü
Tabanları Farklı Üstleri Aynı Olan İfadelerin Çarpımı ve Bölümü
Üslü Sayıların Sıralaması
Üslü Denklemler
10 un Kuvvetleri
Çözümlü Testler

13 Sayfa

TIKLA


Doğal ve Tam Sayılar

Sayma Sayılar Kümesi
4 İşlem
Doğal Sayıların Kuvveti
Üslü Sayılar
Bölme İşleminin Özellikleri
Taban Aritmetiği
Faktöriyel
Asal Sayılar
Asal Çarpanlar
Bölünebilme Kuralları
(2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,17,19 ile bölünebilme kuraları)
Ebob - Ekok
Tek ve Çift Tamsayılar Özellikleri

15 Sayfa

TIKLA


Problemler

Denklem Kurma Problemleri
Problem Çözme Stratejisi
Matematik Diline Çevirme
Kesir Problemleri
Yaş Problemleri
İşçi - Havuz Problemleri
Hareket Problemleri
Yüzde Problemleri
Faiz Problemleri
Karışım Problemleri
Konu ile İlgili Çözümlü Test

15 Sayfa

TIKLA


Kümeler

Küme Kavramı
Küme Gösterimi
Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Alt Küme ve Özellikleri
Kuvvet Kümesi
Kümelerde İşlemler
Dağılma Özelliği
Evrensel Küme
Tümleme ve Özellikler
Fark Kümesi ve Özellikleri
Açık Önermeler
Varlıksal ve Evrensel Niceleyiciler
En az ve Her ile Yapılan Önermelerin Olumsuzu
Konu ile İlgili Çözümlü Test

30 Sayfa

TIKLA


Bağıntı ve Fonksiyon

Sıralı N li ifadeler
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
Koordinat Sistemi Analitik Düzlem
Bağıntı
Bağıntının Şeması ve Grafiği
Bağıntı Sayısı
Bir Bağıntının Tersi
İki Bağıntının Bileşkesi
Bir Kümede Tanımlı Bağıntıların Özellikleri
Ters Simetri Özellikleri
Denklik Bağıntısı
Denklik Sınıfları
Sıralama Bağıntısı
Fonksiyon
Fonksiyonun Grafiği
Fonksiyonlarda Dört İşlem
Eşit Fonksiyonlar
Fonksiyon Çeşitleri
Permütasyon Fonksiyon
Birim Fonksiyon
Fonksiyonların Bileşkesi
Fonksiyon Sayısı
Konuyla İlgili Çözümlü Sorular

53 Sayfa

TIKLA


İşlem

şlemin Özellikleri
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Grup, Halka, Cisim
Konuyla İlgili Çözümlü Sorular

19 Sayfa

TIKLA





--LİSE 2--


İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri

İkinci Dereceden Fonksiyonlar Ve Grafikler
Parobol Çizimleri
Tepe Noktası, Simetri Ekseni
Grafik Çizimleri
Parabol Denkleminin Bulunması
Noktalara Ve Doğrulara Göre Parabol Denklemi
Eşitsizlik Sistemleri
İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Analitik Düzlemde Grafikle Çözümü
Parabolun Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
60 Adet Ayrıntılı Çözülü Test Sorusu

TIKLA


2. ve 3. Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri
İndirgenmiş Diskiriminant Yarım Formül
2. Dereceden Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler
Çarpanlara Ayrılabilen Denklemler
Değişken Değiştirme
Köklü Denklemler
Üslü ve Mutlak Değerli Denklemler
Denklem Sistemleri
Parametreli Denklemler
2.Dereceden bir denklemin Kökleri ve Katsayıları Arasındaki Bağıntılar
Kökleri verilen Denklemi Bulmak
Üçüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri
Dördüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri
70 adet Çözümlü Test Soruları

TIKLA


Polinomlar

Bir Değişkenli Polinom Halkası
İki Değişkenli Polinom Halkası
İki Polinomun Eşitliği
Bir Polinomun Bir Gerçel Sayı İçin Aldığı Değer
Polinomlarda İşlemler
Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme
Horner Yöntemi ile Bölme
Bölmede Kalanın Bulunması
72 Adet Ayrıntılı Çözümlü Sorular

27 Sayfa

TIKLA


Polinomların Çarpanlara Ayrılması

Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Gruplandırma
Özdeşiklerden Yararlanma
Binom Açılımı ve Özellikleri
P(X) İn X = K İçin DeğeriP(X) İn (Ax + B) İle Bölünmesiyle Elde Edilen Kalan
P(X) İn Xn + A İle Bölümünden Kalan
P(X) İn (X – A) . (X – B) Çarpımı İle Bölünmesi
P(X) İn (A. X + B)2 İle Bölünebilmesi
Polinomlarda EBOB EKOK
Rasyonel İfadelerde Polinom
Polinom Denklemler
İki ve Daha Çok Bilinmeyenli Denklemler
Basit Kesirlere Ayırma
50 Adet Ayrıntılı Çözümlü Soru

43 Sayfa

TIKLA


Permitasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık

Sıralı Nliler
Sayma Kuralları
Saymanın Temel İlkesi
Çarpansal Kavramı
Faktöriyel Kuralları
Dönel Sıralama
Tekrarlı Permütasyonlar
Kombinasyon ve Özellikleri
Permütasyon ve Permürtasyon Arasındaki Farklar
Binom Açılımı
Olasılık Fonksiyonu
Eş Olumlu Örnek Uzay
Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar
Çarpım Kuralı
Konuyla İlgili 60 adet Çözümlü Sorular

44 Sayfa

TIKLA


Eşitsizlikler

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Çarpım Ve Bölüm Biçimindeki Eşitsizlikler
Pratik Kurallar
Eşitsizlik Sistemi
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Gerçel Köklerin Karşılaştırması
Diskrimant Durumlarına Göre İnceleme
Eşitsizlikteki Bilinmeyen K Değerini Bulma
İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin İşaretlerinin İncelenmesi
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Köklerinin Bir Gerçel Sayı İle Karşılaştırılması
Eşitsizlik ile ilgili Çözümlü Açıklamalı Testler
Teoremler ve Alıştırmalar

35 Sayfa

TIKLA


Trigonometri

Cos, Sin, Tan, Cot, sec
Trigonometrik esitlikleri ezberlemenin pratik Yolları
Açı ölçüsü birimleri.
Orta taban.
Ö---- Teoremi.
Özel bazı açılar için sinüs değerlerini hatırlamanın pratik bir yolu
Kosinüs Teoremi.
Sinüs Teoremi.
Heron formülü.
Sinüs-Alan-Kenar liskisi.
Tanjant Teoremi.
Toplam-Fark formülleri.
Yarım açı ve kat formülleri.
Morrie Esitligi.
:ki kat formülleri.
Dönüşüm Formülleri.
Simpson formülleri
Ters Dönüşüm Formülleri.
Prosthaphaeresis formülleri
Werner formülleri
Üçgende bazı trigonometrik eşitlikler.
Üçgende bazı trigonometrik eşitsizlikler.
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri ve periyot bulma.
y = f(x) – k ve y = f(x) + k grafikleri.
y = f(x – k) ve y = f(x + k) grafikleri
y = -f(x) grafikleri.
y = k.f(x) grafikleri
y = |f(x)| ve y = f(|x|) grafikleri.
y = f(k-x) grafikleri.
y = f "(x) grafikleri.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar.
Arcsin grafiği
sin x = sin a esitlikleri
cos x = cos aesitlikleri.
tan x = tan a esitlikleri.
Birinci dereceden trigonometrik denklemlerin çözümü.
Homojen Denklemler
Trigonometriyle ilgili çözümlü testler

98 sayfa

TIKLA

İŞÇİ – Havuz Problemleri

İŞÇİ – HAVUZ PROBLEMLERİ
*
· İşçi ve havuz problemlerinde; birim zamanda yapılan iş veya dolan havuz üzerinden işlem yapılır.
· Bir işin tamamı (işçi sayısı sabit tutularak) a saatte bitiyorsa, 1 saatte bu işin sı biter.
· Bir havuzun tamamı (musluk sayısı sabit tutularak) b saatte doluyorsa, 1 saatte si dolar.
· Bir işin tamamını birinci işçi a, ikinci işçi b ve ikisi birlikte x saatte bitiriyorsa;

*
*
· Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.
A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor. Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.
Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte
Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.
*
· Bir işi;
A işçisi tek başına a saatte,
B işçisi tek başına b saatte,
C işçisi tek başına c saatte yapabiliyorsa;
F A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.
F A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.
F A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir.
*** Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.
F A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,
**
*
*
Örnek 1
Bir işi Ali, Veli ve Can tek başlarına sırasıyla 10, 15 ve 20 şer saatte yapıyorlar. Buna göre, üçü birlikte bu işi kaç saatte yaparlar?
*

*
Çözüm

Cevap C
*
Örnek 2
Cenk bir işi yalnız başına 10 günde, Utku ise 15 günde yapabilmektedir. Cenk 4 gün, Utku 6 gün çalışırsa işin ne kadarı biter?
*

*
Çözüm

Cevap B
*
*
Örnek 3
İki musluk bir havuzu beraber 6 saatte dolduruyor. Musluklardan biri diğerinin 2 katı su akıttığına göre, fazla su akıtan musluk bu havuzu tek başına kaç saatte doldurur?
*
A) 16***************** B) 12***************** C) 10***************** D) 9
*
Çözüm
Fazla su akıtan musluk x saatte doldurursa, az su akıtan musluk 2x saatte doldurur. (Çünkü fazla su akıtan musluk daha çabuk doldurur.)

Cevap D

Karmaşık Sayılar Ve Logaritma Test Ve Soruları

Karmaşık sayılar ve logaritma ile ilgili geniş kapsamlı testler ve sorular...

http://rapidshare.com/files/49630804...testi.rar.html

1992-2004 kümeler soruları (powerpoint)

Sunu Halinde Sorular

http://rapidshare.com/files/14720523/soru.rar.html

şifre:figo

Tam Sayılar Çalışma Soruları Resimli

1966-2007 ÖSS de Çıkmış Sorular Gruplandırması..

Doğal ve Tam Sayılar

Temel Kavramlar

Sayıların Çözümlenmesi ve Taban Aritmetiği

Bölünebilme ve OBEB-OKEK

Doğal ve Tam Sayılar

Rasyonel ve Reel Sayılar

Rasyonel Sayılar

Üstlü İfadeler

Köklü İfadeler

Basit Eşitsizlik

Oran ve Orantı

Çarpanlara Ayırma




Denklemler

Denklem Çözme

Sayı Problemleri

Kesir Problemleri

Yaş Problemleri

Yüzde Problemleri

Faiz ve Karışım Problemleri

Hız Problemleri

İşçi-Havuz Problemleri



Kümeler ve Fonksiyonlar
Kümeler

Kartezyen Çarpım ve Bağıntı

Fonksiyonlar

İşlem

Matematiksel Yapılar

Modüler Aritmetik

Permütasyon ve Kombinasyon

Olasılık





Fonksiyon Çeşitleri ve Karmaşık Sayılar

Doğrusal Fonksiyonlar

İkinci Derece Denklemler ve Fonksiyonlar

Polinomlar

Rasyonel Eşitsizlikler

Mutlak Değer ve Fonksiyonları

Tam ve İşaret Fonksiyonları

Logaritma

Trigonometri

Karmaşık Sayılar




Fonksiyonların Analizi

Diziler

Toplam ve Çarpım Sembolü

Seriler

Limit

Türev

Türevin Uygulaması

İntegral

İntegralin Uygulaması

---

2. dereceden 1 bilinmeyenli denklem

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM

TANIM: a, b, c reel sayı ve a# 0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 ifadesine , x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir.
ÖRNEK:4x2 –7x+6=0 ifadesi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.•Bu denklemde; a=4, b=-7 ve c=6 dır.
ÖRNEK: 2y2 –5y+1 = 0
İfadesi y ye bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.
Bu denklemde; a=2, b=-5 ve c= 1 dir.


ÖRNEK: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
(a+4)x3 + 3x2 –ax –2 = 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması için denklemde x3 lü terim olmamalıdır.
O halde, a + 4= 0 => a= -4 olur.

KÖK BULMA
1.ax2 + bx + c =0
ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
ÖRNEK: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
Denkleminin kökleri x1 ,x2 olduğuna göre x1 + x2 toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
(x-1) (x-5) + (x-1) (x-3) = 0
(x-1) (x-5 + x-3) = 0
(x-1) (2x – 8) = 0
x-1= 0 => x1 =1 veya 2x-8= 0
=> x2 = 4 tür.
x1 + x2 = 1 + 4 = 5
ÖRNEK: 4x + 2 . 42-x –18 = 0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: 4x + 2 . 42-x –18 = 0
4x + 2 . 42 . 4-x –18 = 0
1
4x + 32 . 4x –18 = 0
(4x)2 –18 .(4x ) + 32 = 0

-16 -2
(4x –16) . (4x –2) = 0
4x –16 = 0 => 4x = 16 => x1 = 2
1
4x –2 = 0 => 4x = 2 => x2 = 2
1 5
O halde, x1 + x2 = 2+ 2 = 2 olur.

a≠ 0
ax2 + bx + c = 0 denkleminde;

c
i) a + b + c = 0 ise köklerden biri 1, diğeri a dır.

- c
ii) b = a + c ise köklerden biri -1 , diğeri a dır.

ÖRNEK: 9x2 + 17x + 8 = 0 denkleminde;
a = 9, b = 17 , c = 8
b = a + c olduğundan bu denklemin kökleri
x1 = -1 ve x2 = - 8 dur.
9
nÖRNEK: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0
ikinci derece denkleminin köklerinden biri 6 ise, bu denklemin kökleri toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0 denkleminde,
a = m + 2, b = m –n + 2, c = -n ve
b = a + c olduğundan denklemin köklerinden biri -1 dir.
Diğer kök 6 olduğundan kökler toplamı
-1 + 6 = 5 olur.
nax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
ndenkleminin köklerini ∆ (diskriminant) yöntemi ile bulabiliriz.
n∆ = b2 –4ac
ni) ∆ < 0 ise reel kök yoktur.
nii) ∆ = 0 ise kökler eşittir. (x1 = x2)
niii) ∆ > 0 ise iki farklı reel kök vardır.
n ∆ > 0 olmak üzere denklemin kökleri
n -b + -b
n x1 = 2a ve x2 = 2a şeklinde bulunur.

nÖRNEK: x2 – 4x + m + 1 = 0 denkleminin eşit iki kökünün olması için m kaç olmalıdır?

ÇÖZÜM: Denklemin eşit iki kökün olması için ∆ = 0 olmalıdır.
∆ = (-4)2 –4 .1. (m + 1)
0 = 16 –4m = 12 –4m
m = 3 bulunur.

nÖRNEK: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0 a ≠ -1 olmak üzere
ndenklemin kökleri eşit olduğuna göre, a’ nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? (1998 / ÖSYS)

ÇÖZÜM: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0
denklemin kökleri eşit ise ∆ = 0 olmalıdır.
∆ = 4. (a + 7)2 –4 . 27 . (a + 1)
0 = a2 + 14a + 49 – 27a –27
a2 - 13a + 22 = 0
Bu denklemi sağlayan a değerlerinin toplamı
(-13)
a1 + a2 = - 1 = 13 olur.
a ≠ 0, ax2 + bx + c = 0 denkleminin;
i) Simetrik iki kökünün olması için b = 0 olmalıdır.
ii) Simetrik iki reel kökünün olması için,
b = 0 ve a .c > 0 olmalıdır.

ÖRNEK: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
Denkleminin simetrik iki reel kökünün olması için,
a2 –4 = 0 ve 4 .a > 0 olmalıdır.
a2 –4 = 0 => a = -2 ve a = 2 dir.
4.a < 0 =""> a < 0 olmalıdır. O halde a = -2 olur.

KÖKLER İLE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTI
ax2 + bx + c = 0 ikinci derece denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
-b
1)x1 + x2 = a
c2)x1 . x2 = a

3)|x1 - x2| = |a|

1 1 x1 + x2 -b
4)x1 + x2 = x1 . x2 = c
5)X12 + x22 = (x1 + x2 )2 –2x1x2
b2 – 2ac
a2

6)1 1 x12 + x22
x12 +x22 = x12 . X22
b2 –2ac
= c2
7)x13 + x23 = (x1 + x2)3 –3x .x2(x + x2)
3abc-b3
= a3

ÖRNEK: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminin kökleri p ve q olduğuna göre, diskriminantı kaçtır?

ÇÖZÜM: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminde
a = 2, b = -5, c = p2 + q2, x1=p, x2 =q
c p2 + q2
x1 . x2 = a => p .q= 2
2pq = p2 + q2 p2 –2pq + q2 = 0
(p – q)2 = 0 ise
p – q = 0
p = q dur.
O halde, kökler eşit olduğundan ∆=0 dır.

ÖRNEK: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre
a’ nın hangi değeri için x1 + x2 + x1 . x2 = 5 olur?

ÇÖZÜM: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
x1 + x2 = 2 ve x1 . x2 = a dır. O halde,
x1 + x2 + x1 . x2 = 5 => 2 + a = 5 a = 3 bulunur.

ÖRNEK: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denklemin kökleri sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır.

ÇÖZÜM: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denkleminde, a = 1, b= x1+4, c=-3x2
c x1x2 = a => x1x2 = -3x2 x1 = -3 tür.
-b
x1 + x2 = a => x1 + x2 = -x1 –4
x2 = -2x1 –4
x2 = -2(-3) –4
x2 = 2 olur.
O halde, denklemin büyük kökü x2 = 2 olur.
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
a ≠ 0 olmak üzere, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
a . (x – x1) . (x – x2) = 0 dir. Bu denklem düzenlenirse,
x2 –(x1 + x2) . x + x1 . x2 = 0 denklemi elde edilir.

ÖRNEK: Kökleri –2 ve 3 olan ikinci dereceden denklem nedir?

ÇÖZÜM: Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x2 –(x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 dır.
x1 = -2 ve x2 = 3 ise denklem:
x2 – (-2 + 3)x + (-2) . 3 = 0
x2 –x -6 = 0 olur.

EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMLERİ f(x)
f(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, g(x) ≤ 0 vb. eşitsizliklerinin her birini çözebilmek için aşağıdaki basamaklar sırasıyla uygulanmalıdır:
1)Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur.
2)Bulunan köklerin sayı adedi incelenir.
a.Bir kökün sayı adedi tek ise, bu köke tek katlı kök denir ve sayı doğrusunda tek çizgi ile gösterilir.
b.Bir kökün sayı adedi çift ise bu köke çift katlı kök denir ve sayı doğrusunda çift çizgi ile gösterilir.
3)Bulunan kökler, sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralanır ve tek-çift katlı kökleri belirtilir.
4)Her bir çarpanın en büyük dereceli teriminin işareti parantezinin kuvveti ile birlikte alınarak çarpılır ve bir işaret bulunur.
5)Bulunan işaret ile sayı doğrusunun en sağından (+∞ tarafından) başlanır. Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir ve çift katlı köklerden geçerken işaret değiştirilmez.
Böylece tablodan istenen bölgeler bulunur.

ÖRNEK: (x-1) . (3-x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:
1)x-1 = 0 => x = 1 3-x = 0 => x = 3
2)x = 1 ve x = 3 birer tane olduğundan tek katlı köklerdir.
3) x -∞ 1 3 +∞
- + -

0 0

(+).(-) = (-)
Ç.K= {x * 1≤ x ≤ 3, x € R}

ÖRNEK: (x+2) . (x-2)
x + 1 ≤ 0
ÇÖZÜM:
1)x + 2 = 0 => x = -2
x –2 = 0 => x = 2
x + 1 = 0 => x = -1
2)x = -2, x = 2 ve x = -1 kökleri birer tane olduğundan, tek katlı köklerdir.



3) x -∞ -2 -1 2 +∞
- + - +

0 ∞ 0

4)(+) . (+) . (+) = (+)
Ç = {x € |R : x ≤ -2 veya –1 < x ≤ 2} dir.


Eşitsizliklerde n € Z olmak üzere, (x – a)2n ya da |x - a| ifadeleri her zaman pozitif olacağından işleme alınmayabilir. Bu durumda, sadece içlerini sıfır yapan noktalar incelenmelidir.


(3 –x)2
x2 + 3x –4 ≤ 0

eşitsizliğini çözmek yerine
x2 + 3x –4 < 0
eşitsizliğini çözmek yeterlidir.
Ayrıca, (3 –x)2 = 0 olabilmesi için x = 3 olmalıdır.
x -∞ -4 1 +∞
x2 + 3x –4 + - +
İstenen eşitsizliğin çözüm kümesi ise,
Ç = (-4, 1) U {3} olur.

İçinde birden fazla eşitsizlik bulunduran ifadelere eşitsizlik sistemi denir.
Eşitsizliklerin hepsini aynı anda sağlayan değerlerin bulunduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
eşitsizlik sisteminin çözümü için, her bir eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve ortak çözüm kümesi bulunur.

nÖRNEK: (x –2) (4 –x) ≤ 0
(1 –x) (5 +x) ≥ 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM: (x-2) (4-x) = 0 => x = 2, x = 4
(1-x) (5+x) = 0 => x = 1, x = -5

Şimdide her birinin ayrı ayrı işaretini inceleyelim.
x -∞ -5 1 2 4 +∞
(x-2)(4-x) - - - + -

(1-x)(5+x) - + - - -

İşaret tablosunda görüldüğü gibi, birinci eşitsizliğin (-), ikinci eşitsizliğin (+) olduğu bölge [-5, 1] aralığıdır. O halde, çözüm kümesi Ç = [-5, 1] dir.

i)ax2 + bx + c > 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a > 0 ve ∆ = b2 – 4ac <0 olmalıdır.
-∞ +∞

+

ii)ax2 + bx + c < 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a < 0 ve ∆ = b2 –4ac <0 olmalıdır.
-∞ +∞

-

ÖRNEK: (m –2)x2 + (m –2)x + m –1 < 0
eşitsizliği x € R için sağlanıyor ise m nedir?

ÇÖZÜM: (m-2)x2 + (m –2 )x + m –1
a = m –2, b = m –2, c = m –1
a < 0 ve ∆ < 0 olmalıdır.
a = m –2 < 0 =""> m < 2 ............... 1
∆ = b2 –4ac < => (m –2)2 –4(m –2) . (m –1) < 0
(m –2) (m –2 –4m + 4) < 0
(m –2) (-3m + 2) < 0
(m –2) (-3m + 2) ifadesinin işaret tablosuna bakılırsa,
2
m -∞ 3 2 +∞

- + -

(m –2) (-3m + 2) <> 2dir..........2
1 ve 2 yi sağlayan m değerleri m < 2 dür.
3

BİR k REEL SAYISININ İKİNCİ DERECE DENKLEMİNİN KÖKLERİYLE KARŞILAŞTIRILMASI
nf(x) = ax2 + bx +c denkleminin kökleri arasında x1 < x2 ve k € R olsun.
ni) x1 < k < x2 ise a . f(k) < 0 dır.
nii) k < x1 < x2 ise,
a) ∆ > 0 b) a . f(k) > 0 c) k < -b olmalıdır.
2aniii) x1 < x2 < k ise
a) ∆ > 0
b) a . f(k) > 0 c) k > -b olmalıdır.
2a

iv) a . f(k) = 0 ise, k köklerden birine eşittir. Bu durumda aşağıdaki üç maddeye bakılır.

-b
a)k > 2a ise x1 < k = x2
-b
b)k < 2a ise k = x1 < x2
-b
c)k = 2a ise k = x1 = x2 dir olur.

ÖRNEK: x2 –(m + 1)x + m = 0 denkleminin
0 < x1 < 2 < x2 koşulunu sağlayan iki kökünün olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

ÇÖZÜM: f(x) = x2 –(m + 1)x + m
x1 < x2 =""> a . f(2) < 0
=> 1 . (22 –2m –2 + m) < 0
=> -m + 2 < 0 =""> m > 2 dır.

ÖRNEK: (p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 dir.
x1 <> x2 olması için p’nin alabileceği değerler nedir?

ÇÖZÜM: Denkleminin kökleri x1 <> x2 şartlarını sağladığına göre,
x1x2 < 0 ve x1 + x2 < 0 dır.
c 5(p – 2)
x1x2 = a = p + 6 < 0 ...................... (1)
-b 17(p + 1)
x1 + x2 = a = p + 6 < 0...................(2)
(p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0

p -6 -1 2

x1x2 + - - +
x1 + x2 - + - -
Ç
Ç = (-1 , 2) dir.

Bağıntı - Fonksiyon - İşlem

Bağıntı - Fonksiyon - İşlem

Burdan İndirebilirsiniz

Fonksiyonlar Video'lu Anlatım

Fonksiyonlar matematik-1 (Video)

Fonksiyonlar

Birim Sabit Fonksiyon Fonksiyonların Bileşkesi


Birim Sabit Fonksiyon Fonksiyonlarin Bileskesi

ÖLÇÜLER

ÖLÇÜLER

ÖLÇÜLER

Uzunluk Ölçüsü Birimleri ve Aralarındaki İlişkiler
Uzunluk ölçüsü temel birimi metredir. Metre, kısaca ”m” ile gösterilir.
1metre = 1m şeklinde yazılır.
1 metreden çok fazla olan uzunluklar metrenin katları ile ölçülür.
1 metreden kısa olan uzunluklar metrenin as katları ile ölçülür.

Metrenin Katları ve As Katları

Metrenin katları Temel Birim Metrenin As Katları
Km Hm dam m dm cm mm

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Uzunluk ölçüsü birimleri onar onar büyür onar onar küçülür.
Her birim sağındakinin on katı solundakinin ise onda biridir.
Bir uzunluk ölçüsünü küçük birime çevirirken her birim için 10 ile çarparız. Büyük birime çevirirken de her birim için 10 a böleriz.

Örnekler:

7460 m yi metrenin katlarına çevirelim.
7460 m = 746 dam = 76,4hm = 7,64 km şeklinde olur.
2- 3,075 m yi, metrenin as katları cinsinden yazalım.
3,075 m = 30,75dm = 307,5cm = 3075mm olur
3- 6,8 km = ? dam
6,8 km = 68 hm = 680 dam
4- 542 mm + 58 cm + 4 dm = ? dm
542 mm = 5,42 dm
58 cm = 5,8 dm
+ 4 dm = 4 dm
15,22dm
5- a) 56 dam = 560 dm
b) 6,4 km = 640 dam
c) 870 cm = 8,7 m
d) 0,45 m = 4,5 m

Üçgenin, Karenin ve Dikdörtgenin Çevresi

a-)Üçgenin Çevresi
1-Çeşitkenar üçgenin çevresi

Çeşitkenar bir üçgenin çevresi üç kenarının uzunlukları toplamına eşittir.
Örnek: Kenar uzunlukları, a = 3,5 cm, b = 7,4 cm, c = 8,6 cm olan üçgenin çevresi kaç
cm dir?
Çevre = a + b + c
= 3,5 + 7,4 + 8,6
= 19,5 cm

2-İkizkenar Üçgenin Çevresi

Bir ikizkenar üçgende a = taban kenar b = eşkenarlardan biri ise Çevre = a + ( 2 . b )
Örnek: Bir ikizkenar üçgende a = ikiz kenarlardan biri ve 12 cm, b = taban kenar ve 18 cm. Bu üçgenin çevresi kaç cm dir?
Çevre = b + ( 2 . a )
= 18 + ( 2 . 12 )
= 18 + 24
= 42 cm olur

3-Eşkenar Üçgenin Çevresi

Bir eşkenar üçgende birbirine eşit olan kenarlar a ile gösterilmişse Çevre = 3 . a olur
Örnek: Bir eşkenar üçgenin kenarlarından biri 14 cm ise bu üçgenin çevresi kaç dm dir?
Çevre = 3 . a
= 3 . 14
= 42 cm olur
42 cm = 4,2 dm olur.

b-Karenin çevresi
Karenin kenarları birbirine eşit olduğu için Çevre = 4 . a olur
Örnek: Bir karede a =10 cm ise Çevre = ?
Çevre = a . 4
= 10 . 4
= 40 cm olur

Fonksiyonlarla İlgili Çıkmış ÖSS Soruları

Fonksiyonlarla İlgili Çıkmış ÖSS Soruları

Buyrun

FONKSİYONLAR